Norme de fonctions

Définitions

Norme p

Définition :
Soit $\Omega$ un domaine de ${\Bbb R}^d$
Pour $p\in[1,+\infty[$, on définit : $${{\lVert f\rVert_p}}={{\sqrt[p]{\int_\Omega\lvert f\rvert^p} }}$$

Norme infinie, Norme sup

Définition :
Soit $\Omega$ un domaine de ${\Bbb R}^d$
On définit : $${{\lVert f\rVert_\infty}}={{\underset{x\in\Omega}{\operatorname{ess sup} }\lvert f(x)\rvert }}$$
(Suplemum essentiel)
On note : $${{\lVert f\rVert_\infty}}={{\inf\{C\geqslant0\mid \lvert f\rvert\overset{pp}\leqslant C\} }}$$

Propriétés

Majoration

On a : $$\lVert f\rVert_p\leqslant{{\lVert f\rVert_\infty}}$$

Exercices

On note $\mathscr P(E)$ l'ensemble des parties de $E$
Soit $\mathscr B(\mathscr P(E),{\Bbb R})$ le ${\Bbb R}$-espace vectoriel des fonctions bornées de $\mathscr P(E)$ dans ${\Bbb R}$
Montrer que la norme de fonctions définie par $$\lVert f\rVert=\sup\{\lvert f(A)\rvert\mid A\in\mathscr P(E)\}$$ définit une norme sur l'espace vectoriel $\mathscr B(\mathscr P(E),{\Bbb R})$

Cas nul
La positivité est évidente car $\lvert f(A)\rvert\geqslant0$ pour tout $A\in\mathscr P(E)$ et pour tout $f$ bornée
Donc, si $\lVert f\rVert=0$, alors $f$ est la fonction nulle sur $A$

Homogénéité
$$\begin{align}\sup_{A\in\mathscr P(E)}\lvert\lambda f(A)\rvert&=\sup_{A\in\mathscr P(E)}\lvert\lambda\rvert\lvert f(A)\rvert\\ &=\lvert\lambda\rvert\sup_{A\in\mathscr P(E)}\lvert f(A)\rvert\\ &=\lvert \lambda\rvert\lVert f\rVert\end{align}$$

Inégalité triangulaire

$\forall f,g\in\mathscr B(\mathscr P(E),{\Bbb R})$, $$\begin{align}\sup_{A\in\mathscr P(E)}\left(\lvert f(A)+g(A)\rvert\right)&\leqslant\sup_{A\in\mathscr P(E)}(\lvert f(A)\rvert+\lvert g(A)\rvert)&&\text{ par inégalité triangulaire sur }{\Bbb R}\\ &\\ &\leqslant\sup_{A\in\mathscr P(E)}\lvert f(A)\rvert+\sup_{A\in\mathscr P(E)} \lvert g(A)\rvert\\ &\leqslant\lVert f\rVert+\lVert g\rVert\end{align}$$

(Norme (Définitions))